# 线代学习笔记

# 亿些知识

同济大学《线性代数》前四章部分内容

# 0. 行列式

# 0.1. 定义:

D=det(a)=a1,1...a1,m....an,1...an,m=(1)ti=1nai,piD=det(a)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&...&a_{1,m}\\.&.\\.&&.\\a_{n,1}&...&a_{n,m}\\\end{vmatrix}\\=\sum (-1)^t \prod_{i=1}^n a_{i,p_i}

其中,pp 是一个 1m1\to m 的排列,tt 是其逆序对数。

# 0.2. 性质:

  • Lemma 0.2.1. 行列式与其转置行列式相同
  • Lemma 0.2.2. 上三角矩阵行列式等于其主对角线之积
  • Lemma 0.2.3. 行列式交换两行(列),行列式变号
  • Lemma 0.2.4. 行列式可提某行(列)公因子
    • 由上述两条得 行列式任意两行(列)成比例,行列式为零
  • Lemma 0.2.5. 把行列式某一行每个元拆为两个之和,可据此将行列式裂为两个
  • Lemma 0.2.6. 行列式某行乘个系数,加到另一行,行列式不变

# 0.3. 按行展开

定义余子式 Mi,jM_{i,j} 为行列式把 iijj 列删掉后的行列式乘上 ai,ja_{i,j},定义代数余子式 A_{i,j}=(-1)^{i+j} M_

# 0.4. 定理

  • Lemma 0.3.1. 若第 ii 行除 ai,ja_{i,j} 外都为 00 ,则 D=ai,j×Ai,jD=a_{i,j}\times A_{i,j}
  • Lemma 0.3.2. 行列式等于某一行每个元素乘上它的代数余子式,这就是行列式按行展开
    • 某行所有元素的代数余子式挨个乘上另一个行所有元素,结果为 00

# 1. 矩阵

# 1.1. 定义

就是个数表

单位矩阵

记做 EE 主对角线全 11 其余为 00 的矩阵

纯量阵

λE\lambda E

伴随矩阵

记做 AA^*AA 每个元素的代数余子式构成

系数矩阵

线性方程组的系数

常数矩阵

线性方程组隔壁的常数

增广矩阵

系数矩阵 + 常数矩阵

# 1.2. 运算

乘法

C=ABci,j=k=1aai,k×bk,jC=A*B\\ c_{i,j}=\sum_{k=1}^a a_{i,k}\times b_{k,j}

转置

AT=aj,i(AT)T=A(AB)T=BTATA^T=a_{j,i} \\ (A^T)^T=A \\ (AB)^T=B^TA^T

det(A)0det(A)\not= 0 则叫 AA 非奇异矩阵,此时它有逆

定义是 AA1=EAA^{-1}=E

一个矩阵的逆唯一

A1=1AAA^{-1}={1\over |A|}A^*

(AB)^{-1}=B^{-1}A^

定义 kk 阶子式为在矩阵中任取 kkkk 列,所得出的 k2k^2 个元素按原来位置组成的数表

定义 R(A)R(A) 表示矩阵 AA 的秩,即最大的满足 R(A)R(A) 阶子式不为 00

可逆矩阵秩是满的,叫满秩

用秩可以判断线性方程组解的情况

AA 系数矩阵,BB 增广矩阵

R(A)<R(B)noneR(A)=R(B)=n1R(A)=R(B)<ninfR(A)<R(B) \ \ \ none\\ R(A)=R(B)=n \ \ \ 1\\ R(A)=R(B)<n \ \ \ inf

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